49 – Quadrados mágicos e do “cavalo”

Definição

Quadrado mágico é uma tabela, com o mesmo número (n) de linhas e colunas, que preenchida com números inteiros sequenciais tem as somas das linhas, das colunas e das duas diagonais principais SEMPRE o mesmo resultado.

Soma= (n²+1)*(n²/2)/n

Para um quadrado de 8 linhas e 8 colunas tem-se:

Soma = (64+1)*(64/2) /8 = 65 * 32 / 8 = 260

Para um quadrado de 11 linhas e 11 colunas tem-se:

Soma = (11*11 + 1)*(11*11/2) /11 = 122 * 50,5 / 11 = 671

Há muitos estudos sobre quadrados mágicos e os de ordem “impar” são mais fáceis de serem montados.

O objetivo desta postagem é apresentar, a seguir, dois quadrados especiais.

Quadrado de Benjamin Franklin

Benjamin Franklin (1706-1790) foi um diplomata dos Estados Unidos e um dos líderes da Revolução Americana. Foi o primeiro embaixador americano na França e ficou famoso por suas experiências com eletricidade, sendo a mais famosa a utilização de uma pipa para mostrar efeitos dos raios. Elaborou um quadrado  8×8 “quase” mágico, pois as diagonais não somavam 260  mas possue algumas curiosidades.

O quadrado abaixo (8×8) não é mágico pois a soma das duas diagonais principais não é igual às somas das linhas e colunas.

Figura 3.1 – Soma das linhas e colunas iguais; diagonais não.

O mesmo quadrado destaca que as somas das metades das linhas e das colunas apresentam valores iguais à metade (130) das somas delas inteiras (260).

Figura 3.2 – Soma das metades das linhas e colunas.

Na próxima figura tem-se que qualquer quadrado 2×2 tem soma igual a 130 (metade de 260).

Figura 3.3 – Soma de quadrados 2×2

Agora  a atenção nos quatro cantos e nas quatro células centrais, cuja soma é 260, sendo 130 nos quatro cantos e 130 no centro.

Figura 3.4 – Cantos e centro

As duas próximas figuras são somas de semi-diagonais, apresentadas em dois sentidos. Como dissemos no início, a soma das diagonais NÃO é igual a 260 e, assim, o quadrado não é “mágico”.

Figura 3.5 – Soma de semi-diagonais (1)

Figura 3.6 – Soma de semi-diagonais (2)

Quadrado especial – Movimento do cavalo!

Para encerrar esta postagem um quadrado 8×8, que também NÃO É MÁGICO, pois a soma das diagonais não é igual à soma das linhas e colunas.

Figura 4.1

A principal característica relativa  à SOMA dos números das células é que os grupos de células 2×2 têm soma 130 (metade de 260). Na Figura 4.2 os agrupamentos começaram na primeira linha mas na Figura 4.3 os agrupamentos começaram na segunda linha. Neste último caso agrupamos também a primeira e a última linha.

Figura 4.2

Figura 4.3

Agora o caso especial…

Os destaques nas próximas figuras (Figuras 5.1 e 5.2) tem a ver com a movimentação da “PEÇA CAVALO”,  de um jogo de XADREZ. Sabe-se que o movimento do cavalo é duas casas numa direção e uma casa na direção perpendicular à efetuada (movimento 2×1 ou 1×2) e, desta forma, se está numa casa BRANCA obrigatoriamente irá para uma casa PRETA, e vice-versa.

Partindo-se do número “1” e fazendo movimentos do “cavalo” ( 2×1 ou 1×2) podemos percorrer todas as 64 casas do quadrado ou TABULEIRO. Na figura abaixo são apresentadas, como exemplo, duas partes da sequencia completa, do 1 ao 64.

Figura 5.1

Como percorremos em sequencia numérica teremos como RESULTADO que todos números ÍMPARES estarão em casa PRETAS  e todos os PARES em casas BRANCAS.

Figura 5.2

Vou parando por aqui porque para quem quiser pesquisar o assunto não faltam artigos na internet…

Para edição em “Word” baixe o arquivo indicado….